Введение понятия
Всякая функция описывает какие-то
процессы, происходящие в окружающем нас
мире. Рассмотрим прямоугольник со
сторонами x и y и площадью 24 см2.
Известно, что x * y = 24.
Что произойдет, если начать изменять одну из сторон треугольника, допустим, сторону длиной x?
Длину стороны y узнаем из формулы y = 24 / x.
Если увеличить x в 2 раза, то будем иметь y = 24 / (2 * x), т.е. сторона y уменьшится в 2 раза.
Т.е. если значение x увеличивать в 3, 4, 5... раз, то значение y во столько же раз уменьшается.
Наоборот, если значение x уменьшать в несколько. раз, то значение y во столько же раз будет увеличиваться.
Функцию вида y = 24 / x. называют обратной пропорциональностью.
В общем виде она записывается как y = k / x, где k - константа, причем k<>0.
Такие функции встречаются очень часто: например, скорость движущегося тела V на данном участке
пути S обратно пропорциональна затраченному времени t на его прохождение: V = S / t. Скорость будет
больше при меньшем затраченном времени и наоборот.
Другой пример: на одну и ту же сумму денег мы можем сделать меньше покупок одного вида при большей их цене.
Размеры, а значит, и масса, кусков торта будут находиться в обратной пропорциональности количеству
приглашенных гостей.
Выясним, как выглядит график данной функции (см. файл График.doc), заполненный учащимся точками.
Вопросы по графику:
1. Какова область определения функции y = 24 /
x?
Все числа, кроме 0
2. Положительны или отрицательны значения y, если: x < 0, x > 0?
При x < 0 имеем: y<0, при x > 0 имеем y>0.
3. Как меняется переменная y с
изменением x?
При x>0 : если x -> 0, то y ->+∞, если x ->+ ∞, то y ->0.
При x>0: если x->0, то y->-∞, если x->-∞, то y->0.
Выводы
1. Точка (0;0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси Ox, ни оси Oy.
2. График находится в I и в III координатных четвертях.
3. Плавно приближается к координатным осям как в I координатной четверти, так и в III,
причем он подходит к осям как угодно близко.
Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке графика и увидеть
график функции y = 24 / x целиком.
Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает "прохожу
через что-либо". Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в IVв. до н.э. Термин "гипербола"
ввел Аполлоний из города Пергам (Малая Азия), живший в III - II вв. до н.э.
Гипербола устремляется ввысь настолько быстро и настолько быстро падает вниз,
прижимаясь соответственно то к оси ординат, то к оси абсцисс, что становится ясно, почему же словом "гипербола"
называется стилистический прием, состоящий в образном перувеличении или преуменьшении.
Например:
- "Семимильные шаги"
- быстрый рост, хорошее развитие чего-либо
- "Худое валит пудами, а хорошее
каплет золотинками"
- "Человека узнаешь, когда с ним пуд
соли съешь" - нужно много времени, чтобы понять другого человека
Предлагаем Вам рядом с графиком функции y = 24 / x построить
график функции y = - 24 / x.
Сравним оба эти графика и заметим, что второй
занимает II и IV координатные углы, а оба они симметричны относительно начала
координат. К тому же, если график функции y = 24 / x отразить
относительно оси Oy, то получим график функции y = -
24 / x.
