Число, кроме количественного значения имеет ещё форму записи, благодаря которой оно распознается человеком или компьютером. Формы записи нам известны самые различные. Например, число можно записать в обычной десятичной системе счисления, можно в двоичной. Известно, что в принципе в качестве основания системы счисления можно взять любое число. Но это далеко не все возможные способы представления чисел. Рассмотрим несколько необычных способов записи чисел.

Для примера будем использовать число записанное в десятичной форме. Пусть это будет число 536.

Возьмём произвольное число. Например 6. Построим следующий ряд чисел:

А0 = 6

А1 = 6 + 6 =12

А2 = 12 +12 = 24

А3 = 24 + 24 = 48

А4 = 48 + 48 = 96

А6 = 192 + 192 = 384

Назовём эти числа цифрами. Из них почти можно сложить число 536. А именно: 384 + 96 + 48 + 6 + 2. В этом представлении только 2 не содержится в исходном ряду. Но пока мы об этом забудем, а остальное запишем цифрами. Получится так: А6 + А4 + А3 + А1. Далее, с учётом отсутствующих цифр перепишем это представление так:

Таким образом имеем двоичное представление 1011001 – семь знаков. представим оставшуюся двойку двоичным числом. Получим для представления числа 536 два числа 1011001 и 10 итого девять знаков. В то же время в двоичной системе счисления 536 = 1000011000 десять знаков. Таким образом мы выиграли один знак. Можно предположить, что для больших чисел этот выигрыш будет больше.

Построим ряд цифр представляющий собой ряд Фиббоначи.

А0 = 1

А1 = 2

А3 = 3

А4 = 5

А5 = 8

А6 = 13

А7 = 21

А8 = 34

А9 = 55

А10 = 89

А11 = 144

А12 = 233

А13 = 377

Из этого ряда чисел также можно составить наше число 536. А именно 536 = 377 + 144 + 13 + 2. Позиционно число можно представить так:

Таким образом мы получили представление из 13 цифр. То есть, в этой системе счисления мы проиграли 3 цифры.

А теперь построим ряд цифр представляющий собой последовательность факториалов:

А0 = 1

А1 = 2

А2 = 6

А3 = 24

А4 = 120

Представление нашего числа на основе факториальных цифр также возможно. А именно получим следующее:

536 = 3*120 + 2*24 + 1*6 + 1*2

Запишем позиционно

Таким образом в факториальной системе мы имеем представление пятью двоичными числами общей длиной 7 знаков, выигрыш составляет 3 знака в сравнении с обычным двоичным представлением.

В конечном итоге все три способа представления дают двоичную форму числа. Мы для десятичного числа 536 получили три двоичных числа разной длины. Получается, что разные двоичные числа означают одно и тоже количество (ведь независимо от системы счисления число это количество). Конечно это парадокс. Попробуйте его объяснить.